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## Questão 11

Determinar para quais inteiros primos $p$ o número $6$ é um resíduo quadrático.

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## Solução

Seja $p$ um número primo.

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### Casos triviais ($p=2$ ou $p=3$)

O número $6 = 2 \cdot 3$ é trivialmente um resíduo quadrático módulo $p$ se $p=2$ ou $p=3$.

- Se $p=2$,
  $$
  6 \equiv 0 \pmod{2},
  $$
  e $0$ é resíduo quadrático, pois
  $$
  0^2 \equiv 0 \pmod{2}.
  $$

- Se $p=3$,
  $$
  6 \equiv 0 \pmod{3},
  $$
  e $0$ é resíduo quadrático, pois
  $$
  0^2 \equiv 0 \pmod{3}.
  $$

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### Caso $p \ge 5$

Suponhamos $p \ge 5$. O número $6$ é um resíduo quadrático módulo $p$ se, e somente se,

$$
\left(\frac{6}{p}\right) = 1.
$$

Utilizando a propriedade multiplicativa, temos:

$$
\left(\frac{6}{p}\right) = \left(\frac{2}{p}\right)\left(\frac{3}{p}\right) = 1.
$$

Isto ocorre se e somente se:

- Caso 1: $\left(\frac{2}{p}\right) = 1$ e $\left(\frac{3}{p}\right) = 1$
- Caso 2: $\left(\frac{2}{p}\right) = -1$ e $\left(\frac{3}{p}\right) = -1$

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### Análise de $\left(\frac{2}{p}\right)$

Pela segunda lei suplementar da reciprocidade quadrática,

$$
\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} =
\begin{cases}
1 & \text{se } p \equiv \pm 1 \pmod{8}, \\
-1 & \text{se } p \equiv \pm 3 \pmod{8}.
\end{cases}
$$

Portanto,

$$
\left(\frac{2}{p}\right) = 1 \iff p \equiv 1, 7 \pmod{8},
$$
$$
\left(\frac{2}{p}\right) = -1 \iff p \equiv 3, 5 \pmod{8}.
$$

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### Análise de $\left(\frac{3}{p}\right)$

Pela Lei da Reciprocidade Quadrática,

$$
\left(\frac{3}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right)(-1)^{\frac{p-1}{2}}.
$$

Observamos:

$$
\left(\frac{p}{3}\right) =
\begin{cases}
1 & \text{se } p \equiv 1 \pmod{3}, \\
-1 & \text{se } p \equiv 2 \pmod{3}.
\end{cases}
$$

Além disso,

$$
(-1)^{\frac{p-1}{2}} =
\begin{cases}
1 & \text{se } p \equiv 1 \pmod{4}, \\
-1 & \text{se } p \equiv 3 \pmod{4}.
\end{cases}
$$

Assim,

$$
\left(\frac{3}{p}\right) = 1 \iff
\begin{cases}
p \equiv 1 \pmod{3} \text{ e } p \equiv 1 \pmod{4}, \\
\text{ou} \\
p \equiv 2 \pmod{3} \text{ e } p \equiv 3 \pmod{4}.
\end{cases}
$$

$$
\left(\frac{3}{p}\right) = -1 \iff
\begin{cases}
p \equiv 2 \pmod{3} \text{ e } p \equiv 1 \pmod{4}, \\
\text{ou} \\
p \equiv 1 \pmod{3} \text{ e } p \equiv 3 \pmod{4}.
\end{cases}
$$

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### Combinação dos casos (resolvendo congruências módulo 24)

#### Caso 1: $\left(\frac{2}{p}\right) = 1$ e $\left(\frac{3}{p}\right) = 1$

- $p \equiv 1 \pmod{8}$, $p \equiv 1 \pmod{4}$ e $p \equiv 1 \pmod{3}$
  $$
  \implies p \equiv 1 \pmod{24}
  $$

- $p \equiv 7 \pmod{8}$, $p \equiv 3 \pmod{4}$ e $p \equiv 2 \pmod{3}$
  $$
  \implies p \equiv 23 \pmod{24}
  $$

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#### Caso 2: $\left(\frac{2}{p}\right) = -1$ e $\left(\frac{3}{p}\right) = -1$

- $p \equiv 3 \pmod{8}$, $p \equiv 3 \pmod{4}$ e $p \equiv 1 \pmod{3}$
  $$
  \implies p \equiv 19 \pmod{24}
  $$

- $p \equiv 5 \pmod{8}$, $p \equiv 1 \pmod{4}$ e $p \equiv 2 \pmod{3}$
  $$
  \implies p \equiv 5 \pmod{24}
  $$

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## Conclusão

O número $6$ é um resíduo quadrático módulo $p$ se:

- $p=2$ ou $p=3$, ou
- $p \ge 5$ satisfaz
$$
p \equiv 1, 5, 19, 23 \pmod{24}.
$$