O que são os números de ponto de flutuante?
O que é um número de ponto de flutuante e quais são suas principais caracteristicas?
Estou cursando a matéria de Introdução à Matemática Computacinal e gostaria de compartilhar com vocês um pouco do início desse curso que estou gostando bastante.
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$\textbf{Introdução}$
Os números de ponto flutuante são uma parte essencial para o funcionamento de todos os computadores, pois são eles que possuem o papel de representar os números não inteiros nesses sistemas. Por exemplo, são eles que estão trabalhando quando você faz uma operação com um "número com vírgula" na sua calculadora.
Para responder a essa pergunta, irei me basear no livro Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais das autoras Márcia Ruggiero e Vera Lopes, no padrão IEEE 754, que define o funcionamento dos números de ponto flutuante, e também em outras fontes menos relevantes.
$\textbf{Definição}$
Um número de ponto flutuante é todo aquele que pode ser representado por: $$(0,d_1d_2d_3...d_t)\beta^{(e)}(-1)^{(s)} \quad d_i \in [0,\beta-1] \, \land \, d_1 \neq 0$$
Onde $t$ é o valor máximo da mantissa, ou seja, a quantidade de dígitos que o seu número pode ter (mantissa);
$\beta$ é a base do sistema, como binária (2), octal (8), decimal (10), entre outras (com $\beta \geq 2$);
$e$ é o valor do expoente que eleva a base, ele sempre vai pertencer a um conjunto $[l,h] \subset \mathbb{N}$, onde $l$ é o menor expoente que o sistema pode ter e $h$ é o maior;
$s$ é um número booleano (0 ou 1) que define se o valor é positivo ou negativo.
Na norma IEEE 754 essa definição é dada de uma forma um pouco diferente e mais complexa, sendo ela:
$$(-1)^{(s)} \cdot \left(1+ \sum_{i=1}^{t}d_{t-i} \cdot 2^{(-i)}\right) \cdot 2^{(E-(2^{(u-1)}-1))}$$
Onde o sistema é binario e $(E-(2^{(u)}-1))$ substitui o nosso $e$ utilizando um sistema para definir se a potência é positiva ou negativa chamado de viés (ou bias). $E$ é um valor que está dentro do conjunto $[1,2^{(u)}] \subset \mathbb{N}$, e $u$ é à quantidade de bits reservados para o expoente.
$\textbf{Exemplo}$
Darei um exemplo usando um ponto flutuante com precisão dupla (64 bits), mostrando-o tanto na definição mais inteligível quanto na dada pelo IEEE 754.
Definição inteligível
$$(0,d_1d_2d_3...d_{52}) \cdot 2^{(e)} \cdot (-1)^s \quad \forall e \in [-1022,1023] \, , \, s \in \{0,1\}$$
Isto é, temos reservados 52 bits para a mantissa ($t$), 11 bits para o expoente ($e$), um bit para o sinal da função ($s$) e todos os dígitos são binários ($\beta$).
Definição IEEE 754
$$(-1)^{(s)} \cdot \left(1+ \sum_{i=1}^{52}d_{52-i} \cdot 2^{(-i)}\right) \cdot \beta^{(E-(2^{(10)}-1))}$$ $$ \quad \forall E \in [1,2048]$$
Neste caso, $u=11$, que é a quantidade de bits reservados para representar o expoente.
$\textbf{Mantissa}$
Com a base dos números de ponto flutuante mais compreendida, podemos partir para algumas de suas característica, a primeira delas é sobre como esses números se comportam em diferentes situações de mantissa. Já sabemos que quando há uma quantidade de dígitos menor ou igual ao limite da mantissa, tudo ocorre como o esperado. Porém, quando esse limite é ultrapassado, ocorre um arredondamento.
Por exemplo, vamos imaginar dois números de ponto flutuante $f_1$ e $f_2$ que pertencem a um sistema decimal com limite de mantissa $t=2$ e de expoente $e \in [-3,3]$. Se $f_1 = 0,1 \cdot 10^3$ e $f_2 = 0,1 \cdot 10$, ao somá-los, obteremos um $f_3=0,101 \cdot 10^3$, o que é problemático, pois ele estoura o máximo da mantissa. Então, o computador irá entrar em um processo de arredondamento.
Existem muitos tipos de arredondamento descritos na norma IEEE 754, mas focarei neste exemplo no de truncamento, que basicamente transforma em $0$ tudo que passou pelo limite da mantissa. Portanto, teremos que $f_3=0,1 \cdot 10^3$.
Apesar de ter usado o truncamento, na maior parte das vezes os processadores utilizam um método de arredondamento para o valor mais próximo chamado de bits GRS; é mais fácil encontrar conteúdo sobre isso pesquisando por sticky bit.
$\textbf{Underflow e Overflow}$
Underflows e overflows ocorrem quando há uma quebra dos limites do expoente, isto é, o número que você está tentando representar é tão grande ou tão pequeno que o seu sistema de ponto flutuante não consegue representá-lo.
Quando o número é muito pequeno para o sistema, ocorre o underflow. Nisso, o computador pode usar um bit da mantissa para representar expoentes menores, sacrificando um pouco da precisão do número; se mesmo após isso não for possível representá-lo, o computador só irá considerá-lo como $0$.
Já quando um número é muito grande para o sistema, ocorre um overflow, que pode ser interpretado pelo computador como um número Inf ou -Inf.
$\textbf{Considerações finais}$
Foi muito divertido estudar sobre este tema, pois gosto muito de entender como o computador funciona por debaixo dos panos, ainda mais quando isso envolve matemática. Além disso, gostaria de pedir aos leitores compreensão com possíveis erros que eu possa ter cometido durante a explicação deste tópico, pois sou apenas um estudante de graduação bem entusiasmado.
Dito isso, espero que esta publicação os tenha ajudado a entender um pouco mais a fundo como os números de ponto flutuante funcionam.
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