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Primeiro, consideraremos que $n$ é natural, por se tratar de um exercício
de indução. 

Também note que um número múltiplo de 6 é da forma $6p$, sendo $p$
qualquer número natural.

Assim, temos:

A questão diz que $n^{3}-n=6p$ $\backslash p\in\mathbb{N}$

Caso base: Testando para $n=1$:

$1^{3}-1=0=6.0$ ou seja, isso é válido para $n=1$

Supomos então que a proposição é valida para $n=k$, ou seja:

$k^{3}-k=6p$ (Hipótese de indução)

Então, queremos mostrar que $(k+1)^{3}-(k+1)=6q$ $\backslash q\in\mathbb{N}$(Tese)

Partindo da nossa tese:

$(k+1)^{3}-(k+1)=k^{3}+3k^{2}+3k+1-k-1=(k^{3}-k)+3(k^{2}+k)$

Aqui eu agrupei o $k^{3}-k$ pois ele aparece na nossa hipótese. Assim:

$(k^{3}-k)+3(k^{2}+k)=6p+3k(k+1)$

Observe que o produto $k(k+1)$ é sempre par por ser o produto de
2 números naturais consecutivos , ou seja, $k(k+1)=2m$ $\backslash m\in\mathbb{Z}$.
*Essa demonstração está no final da resolução. 

Assim, podemos reescrever a expressão:

$6p+3k(k+1)=6p+3.(2s)=6p+6s=6(p+s)$

Portanto, $(k+1)^{3}-(k+1)=6(p+s)$. Tomando $q=p+s\implies(k+1)^{3}-(k+1)=6q.$ Como queriamos demonstrar.

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Demonstração:

Vamos analisar a expressão $k(k+1)$:

$(i)$ Se $k$ for par $k=2s$ com $s\in\mathbb{Z}$. Logo, $k(k+1)=2s(2s+1)$

$(ii)$ Se $k$ for ímpar $k=2s+1$. Logo, $k(k+1)=(2s+1)(2s+2)=2(2s+1)(s+1)$

Assim, independentemente do valor de $k$, a expressão $k(k+1)=2m$.