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Os pontos que podem não estar no domínio de $f$ são apenas aqueles que tornam o denominador igual a zero. Portanto, devemos ter $x^2-(4a+2p)x+3p^2\neq 0$

$$\implies x=\dfrac{4a+2p\pm\sqrt{(4a+2p)^2-4\cdot1\cdot3p^2}}{2}\implies x=\frac{4a+2p\pm\sqrt{4a^2+16ap+4p^2-12p^2}}{2}$$\\
$$x=\frac{4a+2p\pm\sqrt{4(4a^2+4ap-2p^2)}}{2}=2a+p\pm\sqrt{4a^2+4ap-2p^2}$$\\

para que x exista, o que está dentro da raíz deve ser $\geq 0$, ou seja, devemos analizar os casos para $<0$:
$$4a^2+4ap-2p^2<0 \implies 2a^2+2ap-p^2<0$$

As raízes da equação são $p=\dfrac{2a\pm\sqrt{4a^2+8a^2}}{2}=a(1\pm\sqrt{3})$. Como a parábola em função de $p$ tem concavidade para baixo e $p>0$, o único resultado que nos interessa é $p=a(1+\sqrt{3})\implies$ $ p \in ]a(1+\sqrt{3}),+ \infty [$