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Primeiro, lembre-se que a equação da circunferência é dada por $(x-x_{0})^2 + (y-y_{0})^2 = R^2$, onde $(x_{0},y_{0})$é o centro da circunferência e $R$ é o raio. Ou ainda, podemos escrever tal equação como $x^2+y^2+Ax+By+C=0$.  Como os quatro pontos dados fazem parte da mesma circunferência, podemos substituir suas coordenadas na equação:

$$(-2,2): (-2)^2+2^2-2A+2B+C=0$$ 

$$(1,-6): 1^2+(-6)^2+A-6B+C=0$$

$$(1,m): 1^2+m^2+A+mB+C=0$$

$$(m,m+1): m^2+(m+1)^2+mA+(m+1)B+C=0$$

Subtraindo a segunda da terceira, temos que 
$$m^2+(m+6)B-36=0 \Rightarrow B=\frac{36-m^2}{m+6}$$

Subtraindo a primeira da segunda:
$$3A-8B+29=0 \Rightarrow A=\frac{8B-29}{3}$$

Agora, subtraia a terceira da quarta:

$$m^2+2m+(m−1)A+B=0$$

Substituindo tudo A e B pelos valores encontrados:
$$m^2+2m+(m−1)\frac{8B-29}{3}+B=0$$
$$m^3−3m^2−22m+72=0.$$
$$(m−4)(m^2+m−18)=0.$$^

Com isso, concluímos que 
$$m=4 \qquad \text{ou} \qquad m=\frac{-1\pm\sqrt73}{2}$$