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Sabemos que $-1\leq cosx\leq1$ e que $e^{-2x}>0\, \forall x\in\mathbb{R}$
Assim, $-1\leq cosx\leq1\iff-e^{-2x}\leq e^{-2x}cosx\leq e^{-2x}$.
Pelo Teorema do Denominador Infinito, $\lim_{x\to\infty}e^{-2x}=\lim_{x\to\infty}-e^{-2x}=0$
$\therefore\lim_{x\to\infty}-e^{-2x}\leq\lim_{x\to\infty}(e^{-2x}cosx)\leq\lim_{x\to\infty}e^{-2x}\iff0\leq\lim_{x\to\infty}(e^{-2x}cosx)\leq0$
Portanto, pelo Teorema do Confronto, $\lim_{x\to\infty}(e^{-2x}cosx)=0$
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