Inclinação da reta tangente
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Mostre que a curva $y=2e^{x}+3x+5x^{3}$não tem reta tangente com inclinação 2
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Primeiro, note que a curva é derivável em $\mathbb{R}$uma vez que é formada pela soma de uma função
exponencial à uma função polinomial. Portanto, vamos encontrar a sua derivada:
$y'=2e^{x}+3+15x^{2}$
Pela definição, essa é a inclinação da reta tangente à curva. Vamos supor que inclinação da reta tangente à curva possa ser igual a $2$, ou seja, $y'=2$. Assim:
$2e^{x}+3+15x^{2}=2\implies2e^{x}+1+15x^{2}=0\implies e^{x}=-(\frac{1+15x^{2}}{2})$
Como $x^{2}\geq0\;\forall x\in\mathbb{R},\;e^{x}=(\frac{1+15x^{2}}{2})\leq0$, o que é absurdo, pois $e^{x}>0$ em $\mathbb{R}$
Assim, provamos por absurdo que a curva em questão não pode ter inclinação igual a $2$
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