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Vamos derivar o lado esquerdo da equação:

$\frac{d}{dx}[sen^{n}(x)cos(nx)]$ 
$=nsen^{n-1}(x).cos(x).cos(nx)+sen^{n}(x).[-sen(nx).n]$(Usando regra do tombo, do produto e da cadeia)

Note que $sen^{n}(x)=sen^{n-1}(x).sen(x)$, assim:

$nsen^{n-1}(x).cos(x).cos(nx)+sen^{n}(x).[-sen(nx).n]=n[sen^{n-1}(x).cos(x).cos(nx)-sen^{n}(x).sen(nx)]$

$=n[sen^{n-1}(x).cos(x).cos(nx)-sen^{n-1}(x).sen(x).sen(nx)]=n.sen^{n-1}(x).[cos(x).cos(nx)-sen(x).sen(nx)]$

$=n.sen^{n-1}(x).[cos(x+nx)]$ (Cosseno da soma)

$=nsen^{n-1}(x).cos[(n+1)x]$