Post History

(A) Mostre que grupos de ordem $35$ são cíclicos

Seja $G$ um grupo de ordem

$$
|G| = 35 = 5 \cdot 7.
$$

Pelos Teoremas de Sylow, temos:

$$
n_5 \equiv 1 \pmod{5}
\quad \text{e} \quad
n_5 \mid 7.
$$

Logo,

$$
n_5 = 1.
$$

Analogamente,

$$
n_7 \equiv 1 \pmod{7}
\quad \text{e} \quad
n_7 \mid 5,
$$

portanto,

$$
n_7 = 1.
$$

Seja $H$ o $5$-Sylow de $G$ e $K$ o $7$-Sylow de $G$. Como ambos são únicos, segue que

$$
H \trianglelefteq G
\quad \text{e} \quad
K \trianglelefteq G.
$$

Além disso,

$$
H \cap K = \{e\},
$$

pois

$$
|H \cap K| \mid |H| = 5
\quad \text{e} \quad
|H \cap K| \mid |K| = 7.
$$

Como $H$ e $K$ são normais e possuem interseção trivial, temos

$$
HK \cong H \times K.
$$

Como grupos de ordem prima são cíclicos,

$$
H \cong C_5
\quad \text{e} \quad
K \cong C_7.
$$

Assim,

$$
HK \cong C_5 \times C_7.
$$

Como $5$ e $7$ são coprimos,

$$
C_5 \times C_7 \cong C_{35}.
$$

Além disso,

$$
|HK|
=
\frac{|H||K|}{|H \cap K|}
=
\frac{5 \cdot 7}{1}
=
35
=
|G|.
$$

Logo,

$$
HK = G.
$$

Portanto,

$$
G \cong C_{35},
$$

ou seja, $G$ é cíclico.