Função geradora
Encontrar a função geradora $f(x)$ da sequência dada por $a_n=n^2+n$, com $n\in\mathbb{N}$.
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Para isso, basta encontrar a função geradora de $b_n=n^2$ e a função geradora de $c_n=n$. Sabemos que $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$$.
Ao derivar tal expressão, obtemos $$\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\cdots$$
Observe que estamos muito próximos de encontrar a função geradora de $c_n$ (gostaríamos de ter $x+2x^2+3x^3+\cdots$). Para chegar nisso, basta multiplicar por $x$ a expressão que encontramos após derivarmos $\frac{1}{1-x}$: $$\frac{x}{(1-x)^2}=x+2x^2+3x^3+\cdots$$
Agora, se derivarmos essa nova expressão e multiplicarmos por $x$, obtemos $$\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=x+2^2x^2+3^2x^3+\cdots$$ Com isso, conseguimos a função geradora de $b_n$. Agora, basta somar as funções geradoras encontradas para adquirirmos $f(x)$: $$f(x)=\frac{x}{(1-x)^2}+\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$$ $$f(x)=\frac{2x}{(1-x)^3}$$
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