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a) Queremos mostrar que para todo $r \in \mathbb{R}$, a expansão em série de Maclaurin de $f(x) = (1+x)^r$ é dada por:
$$(1+x)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} x^k$$

A série de Maclaurin baseia-se nas derivadas da função avaliadas em $x = 0$. Vamos calcular as primeiras derivadas de $f(x)$:
$$f(x) = (1+x)^r \implies f(0) = 1$$ 
$$f'(x) = r(1+x)^{r-1} \implies f'(0) = r$$
$$f''(x) = r(r-1)(1+x)^{r-2} \implies f''(0) = r(r-1)$$
$$f'''(x) = r(r-1)(r-2)(1+x)^{r-3} \implies f'''(0) = r(r-1)(r-2)$$

Por indução matemática, a $k$-ésima derivada de $f(x)$ em $x = 0$ para $k \ge 1$ é:
$$f^{(k)}(0) = r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)$$

A fórmula geral da série de Maclaurin é dada por:
$$
f(x) = f(0) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k
$$

Substituindo os valores encontrados e utilizando a definição de coeficiente binomial dada no enunciado, onde $\binom{r}{k} = \frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{k!}$, temos:
$$
f(x) = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \binom{r}{k} x^k
$$

Como o enunciado define que para $k=0$, $\binom{r}{0} = 1$, podemos incorporar o termo inicial dentro do somatório, estendendo o índice para iniciar em $k=0$:
$$
(1+x)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} x^k \quad \square
$$


b) O enunciado define a série geométrica como $\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}$. Queremos elevar essa série à potência $m$:
$$
\left( \sum_{k=0}^{\infty} x^k \right)^m = \left( \frac{1}{1-x} \right)^m = (1-x)^{-m}
$$

Aplicando a fórmula binomial do item (a) com expoente $r = -m$ e substituindo a variável por $-x$
$$
(1-x)^{-m} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-m}{n} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-m}{n} (-1)^n x^n
$$

O coeficiente de $x^n$ é dado por $\binom{-m}{n} (-1)^n$. Vamos expandir o termo binomial generalizado:
$$
\binom{-m}{n} = \frac{(-m)(-m-1)(-m-2)\cdots(-m-n+1)}{n!}
$$
Fatorando $(-1)$ de cada um dos $n$ termos do numerador:
$$
\binom{-m}{n} = \frac{(-1)^n \cdot [m(m+1)(m+2)\cdots(m+n-1)]}{n!}
$$

Multiplicando pelo $(-1)^n$ externo da série, sabendo que $(-1)^n \cdot (-1)^n = (-1)^{2n} = 1$:
$$
\binom{-m}{n} (-1)^n = \frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+n-1)}{n!} = \binom{m+n-1}{n}
$$

Portanto, o coeficiente de $x^n$ na série formal é:
$$
{\binom{m+n-1}{n}} \quad \text{ou, de forma equivalente,} \quad {\binom{m+n-1}{m-1}}
$$

Como já vimos anteriormente, esse coeficiente binomial representa a quantidade de soluções inteiras não negativas de $x_1 + x_2 + \cdots + x_m = n$