Partições de n que são pares e no máximo iguais a 6
Qual a função geradora para $a_n$, onde $a_n$ é a quantidade de partições de $n$ e todas as partes são pares e no máximo iguais a 6.
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A ideia é que podem haver inúmeras partes de $n$ iguais a $2$, iguais a $4$ ou iguais a $6$. Vejamos a função geradora das partes que valem $2$.
Tal função é dada por: $$1+x^2+x^4+x^6+\cdots = \frac{1}{1-x^2}$$
Aqui, $x^2$ representa uma única parte que vale $2$, o $x^4$ representa duas partes que valem $2$ ($4 = 2 \cdot 2$), $x^6$ representa três partes que valem $2$ ($6 = 3 \cdot 2$) e assim por diante.
Utilizando o mesmo raciocínio, podemos encontrar as funções geradoras das partes que valem $4$ e $6$: $$1+x^4+x^8+x^{12}\cdots=\frac{1}{1-x^4}$$ $$1+x^6+x^{12}+x^{18}\cdots=\frac{1}{1-x^6}$$
Para a função geradora final $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, basta multiplicar as séries encontradas:
$$f(x)=\frac{1}{(1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)}$$
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