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Basta verificar os critérios da definição de espaço vetorial:

 1. A verificação decorre diretamente dos axiomas de corpo
* Comutatividade:

$$
\alpha \boxplus \beta = (x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)=(y_1+x_1,\dots,y_n+x_n)=\beta \boxplus \alpha
$$

* Associatividade aditiva:

$$
\begin{array}{rl}
(\alpha \boxplus \beta) \boxplus \gamma &=((x_1+y_1)+z_1,\dots,(x_n+y_n)+z_n) \\
&=(x_1+(y_1+z_1),\dots,x_n+(y_n+z_n))\\
&=\alpha \boxplus (\beta \boxplus \gamma)
\end{array}
$$

* Identidade aditiva:

$$
\begin{array}{c}
{\bf 0} := (0,\dots, 0) \\
\alpha \boxplus {\bf 0}=(x_1+0,\dots,x_n+0)=(x_1,\dots,x_n)=\alpha
\end{array}
$$

* Inverso aditivo:

$$
\begin{array}{c}
-\alpha := (-x_1,\dots, -x_n) \\
\alpha \boxplus (-\alpha)=(x_1+(-x_1),\dots,x_n+(-x_n))=(0,\dots,0)={\bf 0}
\end{array}
$$

* Associatividade multiplicativa:

$$
(ab)\cdot\alpha=((ab)x_1,\dots,(ab)x_n)=(a(bx_1),\dots,a(bx_n))=a\cdot(b\cdot\alpha)
$$

* Identidade multiplicativa:

$$
1\cdot \alpha = (1x_1, \dots,1x_n)=(x_1, \dots,x_n)= \alpha
$$

* Distributividade:

$$
\begin{array}{rl}
(a+b)\cdot\alpha&=((a+b)x_1,\dots,(a+b)x_n)\\
&=(ax_1+bx_1,\dots,ax_n+bx_n)\\
&=a\cdot\alpha\boxplus b\cdot\alpha\\
\\
a\cdot(\alpha \boxplus \beta)&=(a(x_1+y_1),\dots,a(x_n+y_n))\\
&=(ax_1+ay_1,\dots,ax_n+ay_n)\\
&=a\cdot\alpha\boxplus a\cdot\beta
\end{array}
$$

A verificação ocorre de forma similar para os items restantes.