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Dado $\epsilon>0$, tome $\delta = \frac{\epsilon}{2}$. Então, se $\| (x, y)-(0,0) \| = \sqrt{x^2+y^2}<\delta$, no caso $x,y\in \mathbb{Q}$, temos $$ \begin{split} |f(x,y)-f(0,0)|&=|x+y|\newline &\le |x|+|y| \newline &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{split} $$ Se $x$ ou $y$ é irracional, então $|f(x,y)-f(0,0)|=0<\epsilon$. Logo, $f$ é continua em $(0,0)$.
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