Teoria dos números

Questão 11

Determinar para quais inteiros primos $p$ o número $6$ é um resíduo quadrático.

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Solução

Seja $p$ um número primo.

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Casos triviais ($p=2$ ou $p=3$)

O número $6 = 2 \cdot 3$ é trivialmente um resíduo quadrático módulo $p$ se $p=2$ ou $p=3$.

• Se $p=2$, $$ 6 \equiv 0 \pmod{2}, $$ e $0$ é resíduo quadrático, pois $$ 0^2 \equiv 0 \pmod{2}. $$

• Se $p=3$, $$ 6 \equiv 0 \pmod{3}, $$ e $0$ é resíduo quadrático, pois $$ 0^2 \equiv 0 \pmod{3}. $$

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Caso $p \ge 5$

Suponhamos $p \ge 5$. O número $6$ é um resíduo quadrático módulo $p$ se, e somente se,

$$ \left(\frac{6}{p}\right) = 1. $$

Utilizando a propriedade multiplicativa, temos:

$$ \left(\frac{6}{p}\right) = \left(\frac{2}{p}\right)\left(\frac{3}{p}\right) = 1. $$

Isto ocorre se e somente se:

• Caso 1: $\left(\frac{2}{p}\right) = 1$ e $\left(\frac{3}{p}\right) = 1$
• Caso 2: $\left(\frac{2}{p}\right) = -1$ e $\left(\frac{3}{p}\right) = -1$

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Análise de $\left(\frac{2}{p}\right)$

Pela segunda lei suplementar da reciprocidade quadrática,

$$ \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} = \begin{cases} 1 & \text{se } p \equiv \pm 1 \pmod{8}, \\ -1 & \text{se } p \equiv \pm 3 \pmod{8}. \end{cases} $$

Portanto,

$$ \left(\frac{2}{p}\right) = 1 \iff p \equiv 1, 7 \pmod{8}, $$$$ \left(\frac{2}{p}\right) = -1 \iff p \equiv 3, 5 \pmod{8}. $$

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Análise de $\left(\frac{3}{p}\right)$

Pela Lei da Reciprocidade Quadrática,

$$ \left(\frac{3}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right)(-1)^{\frac{p-1}{2}}. $$

Observamos:

$$ \left(\frac{p}{3}\right) = \begin{cases} 1 & \text{se } p \equiv 1 \pmod{3}, \\ -1 & \text{se } p \equiv 2 \pmod{3}. \end{cases} $$

Além disso,

$$ (-1)^{\frac{p-1}{2}} = \begin{cases} 1 & \text{se } p \equiv 1 \pmod{4}, \\ -1 & \text{se } p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases} $$

Assim,

$$ \left(\frac{3}{p}\right) = 1 \iff \begin{cases} p \equiv 1 \pmod{3} \text{ e } p \equiv 1 \pmod{4}, \\ \text{ou} \\ p \equiv 2 \pmod{3} \text{ e } p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases} $$$$ \left(\frac{3}{p}\right) = -1 \iff \begin{cases} p \equiv 2 \pmod{3} \text{ e } p \equiv 1 \pmod{4}, \\ \text{ou} \\ p \equiv 1 \pmod{3} \text{ e } p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases} $$

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Combinação dos casos (resolvendo congruências módulo 24)

Caso 1: $\left(\frac{2}{p}\right) = 1$ e $\left(\frac{3}{p}\right) = 1$

• $p \equiv 1 \pmod{8}$, $p \equiv 1 \pmod{4}$ e $p \equiv 1 \pmod{3}$ $$ \implies p \equiv 1 \pmod{24} $$

• $p \equiv 7 \pmod{8}$, $p \equiv 3 \pmod{4}$ e $p \equiv 2 \pmod{3}$ $$ \implies p \equiv 23 \pmod{24} $$

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Caso 2: $\left(\frac{2}{p}\right) = -1$ e $\left(\frac{3}{p}\right) = -1$

• $p \equiv 3 \pmod{8}$, $p \equiv 3 \pmod{4}$ e $p \equiv 1 \pmod{3}$ $$ \implies p \equiv 19 \pmod{24} $$

• $p \equiv 5 \pmod{8}$, $p \equiv 1 \pmod{4}$ e $p \equiv 2 \pmod{3}$ $$ \implies p \equiv 5 \pmod{24} $$

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Conclusão

O número $6$ é um resíduo quadrático módulo $p$ se:

• $p=2$ ou $p=3$, ou
• $p \ge 5$ satisfaz $$ p \equiv 1, 5, 19, 23 \pmod{24}. $$