Aplicações dos Teoremas de Sylow na classificação de grupos finitos.

(A) Mostre que grupos de ordem $35$ são cíclicos

Seja $G$ um grupo de ordem

$$ |G| = 35 = 5 \cdot 7. $$

Pelos Teoremas de Sylow, temos:

$$ n_5 \equiv 1 \pmod{5} \quad \text{e} \quad n_5 \mid 7. $$

Logo,

$$ n_5 = 1. $$

Analogamente,

$$ n_7 \equiv 1 \pmod{7} \quad \text{e} \quad n_7 \mid 5, $$

portanto,

$$ n_7 = 1. $$

Seja $H$ o $5$-Sylow de $G$ e $K$ o $7$-Sylow de $G$. Como ambos são únicos, segue que

$$ H \trianglelefteq G \quad \text{e} \quad K \trianglelefteq G. $$

Além disso,

$$ H \cap K = \{e\}, $$

pois

$$ |H \cap K| \mid |H| = 5 \quad \text{e} \quad |H \cap K| \mid |K| = 7. $$

Como $H$ e $K$ são normais e possuem interseção trivial, temos

$$ HK \cong H \times K. $$

Como grupos de ordem prima são cíclicos,

$$ H \cong C_5 \quad \text{e} \quad K \cong C_7. $$

Assim,

$$ HK \cong C_5 \times C_7. $$

Como $5$ e $7$ são coprimos,

$$ C_5 \times C_7 \cong C_{35}. $$

Além disso,

$$ |HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|} = \frac{5 \cdot 7}{1} = 35 = |G|. $$

Logo,

$$ HK = G. $$

Portanto,

$$ G \cong C_{35}, $$

ou seja, $G$ é cíclico.