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Provar que os seguintes são espaços vetoriais

Provar que os seguintes são espaços vetoriais:

 1. Os espaços $\mathbb{F}^n$ das $n$-uplas sobre um corpo qualquer $\mathbb F$, isto é,

$$
\mathbb V = \{\alpha = (x_1, \dots, x_n)\mid x_i \in \mathbb F, \forall i \},
$$

com as operações

$$
\begin{array}{c}
\alpha \boxplus \beta = (x_1+y_1, \dots, x_n+y_n),\quad\text{onde } \beta = (y_1, \dots, y_n),\\
a\cdot\alpha = (ax_1, \dots, ax_n)
\end{array}
$$

é um espaço vetorial.

 2. O espaço $\mathbb F^{n\times m}$ das matizes $n \times m$ sobre o corpo $\mathbb F$, com as operações

$$
(A\boxplus B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij},\quad (a\cdot A)_{ij} = aA_{ij}, 
$$

é um espaço vetorial.

 3. O espaço $\mathcal P^n_{\mathbb F}[x]$ das funções polinomiais de grau menor ou igual a $n$ sobre $\mathbb{F}$, isto é,

$$
\mathcal P^n_{\mathbb F}[x]=\{p:\mathbb F \to \mathbb F \mid  p(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n, a_i \in \mathbb F\},
$$

com as operações

$$
\begin{array}{c}
b \cdot p(x)=ba_0+ba_1x+\cdots+ba_nx^n\\
p(x) \boxplus q(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+\cdots+(a_n+b_n)x^n,
\end{array}
$$

onde $q(x)=b_0+b_1x+\cdots +b_nx^n$, é um espaço vetorial.

 4. Os conjuntos $\mathbb R,\mathbb C$ e $\mathbb Q$ com a soma e o produto usuais são espaços vetoriais sobre si mesmos.

 5. Sejam $\mathbb V_1, \dots, \mathbb V_k$ espaços vetoriais sobre $\mathbb F$. O conjunto

$$
\mathbb V = \mathbb V_1 \times \cdots \times \mathbb V_k
$$

com as operações

$$
\begin{array}{c}
(\alpha_1,\dots,\alpha_k)+(\beta_1,\dots,\beta_k)=(\alpha_1+_{\mathbb V_1}\beta_1,\dots,\alpha_k+_{\mathbb V_k}\beta_k),\\
c\cdot(\alpha_1,\dots,\alpha_k)=(c\cdot_{\mathbb V_1}\alpha_1,\dots,c\cdot_{\mathbb V_k}\alpha_k)
\end{array}
$$

é um espaço vetorial sobre $\mathbb F$.