Provar que os seguintes são espaços vetoriais
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Provar que os seguintes são espaços vetoriais:
- Os espaços $\mathbb{F}^n$ das $n$-uplas sobre um corpo qualquer $\mathbb F$, isto é,
com as operações
$$ \begin{array}{c} \alpha \boxplus \beta = (x_1+y_1, \dots, x_n+y_n),\quad\text{onde } \beta = (y_1, \dots, y_n),\\ a\cdot\alpha = (ax_1, \dots, ax_n) \end{array} $$é um espaço vetorial.
- O espaço $\mathbb F^{n\times m}$ das matizes $n \times m$ sobre o corpo $\mathbb F$, com as operações
é um espaço vetorial.
- O espaço $\mathcal P^n_{\mathbb F}[x]$ das funções polinomiais de grau menor ou igual a $n$ sobre $\mathbb{F}$, isto é,
com as operações
$$ \begin{array}{c} b \cdot p(x)=ba_0+ba_1x+\cdots+ba_nx^n\\ p(x) \boxplus q(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+\cdots+(a_n+b_n)x^n, \end{array} $$onde $q(x)=b_0+b_1x+\cdots +b_nx^n$, é um espaço vetorial.
-
Os conjuntos $\mathbb R,\mathbb C$ e $\mathbb Q$ com a soma e o produto usuais são espaços vetoriais sobre si mesmos.
-
Sejam $\mathbb V_1, \dots, \mathbb V_k$ espaços vetoriais sobre $\mathbb F$. O conjunto
com as operações
$$ \begin{array}{c} (\alpha_1,\dots,\alpha_k)+(\beta_1,\dots,\beta_k)=(\alpha_1+_{\mathbb V_1}\beta_1,\dots,\alpha_k+_{\mathbb V_k}\beta_k),\\ c\cdot(\alpha_1,\dots,\alpha_k)=(c\cdot_{\mathbb V_1}\alpha_1,\dots,c\cdot_{\mathbb V_k}\alpha_k) \end{array} $$é um espaço vetorial sobre $\mathbb F$.
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Basta verificar os critérios da definição de espaço vetorial:
- A verificação decorre diretamente dos axiomas de corpo
- Comutatividade:
- Associatividade aditiva:
- Identidade aditiva:
- Inverso aditivo:
- Associatividade multiplicativa:
- Identidade multiplicativa:
- Distributividade:
A verificação ocorre de forma similar para os items restantes.
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