Funções geradoras de soluções em inteiros não negativos
a) Seja $a_n$ a quantidade de soluções em inteiros não negativos da equação $x+y+z=n$, com $n\in\mathbb{N}$. Encontre a função geradora $f(x)$ da sequência $a_n$.
b) Seja $b_n$ a quantidade de soluções em inteiros não negativos da equação $3x+4y+5z=n$, com $n\in\mathbb{N}$. Encontre a função geradora $g(x)$ da sequência $b_n$.
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a) Veja que $x$ pode assumir qualquer valor inteiro não negativo. Isto é, $x\in\{0,1,2,3,...\}$. Logo, a série de potências que descreve os possíveis valores de $x$ é $$1+x+x^2+x^3+\cdots = \frac{1}{1-x}$$
Como $y$ e $z$ podem assumir os mesmos valores, então eles são associados à mesma série de potências $\frac{1}{1-x}$.
Por fim, para encontrar $f(x)$, basta multiplicar essas séries: $$f(x)=\frac{1}{(1-x)^3}$$
b) Agora, tome $x_1 =3x,\,y_1=4y$ e $z_1=5z$. Daí, temos que $x_1+y_1+z_1=n$, onde $x_1\in\{0,3,6,\cdots\}$, $y_1\in\{0,4,8,\cdots\}$ e $z_1\in\{0,5,10,\cdots\}$. Com isso, a série de potências cujos expoentes são os possíveis valores de $x_1$ é $$1+x^3+x^6+\cdots=\frac{1}{1-x^3}$$
Para $y_1$, temos $$1+x^4+x^8+\cdots=\frac{1}{1-x^4}$$
Para $z_1$, temos $$1+x^5+x^10+\cdots=\frac{1}{1-x^5}$$
Por fim, para encontrar $g(x)$, basta multiplicar as séries: $$g(x)=\frac{1}{(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)}$$
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