Coeficiente binomial generalizado para números reais
a) Mostrar que para todo número real $r$ vale a fórmula binomial $(1+x)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k}x^k$. (Recordamos que $\binom{r}{k} = r(r-1)\cdots(r-k+1)/k!$ quando $k \ge 1$, e $\binom{r}{0} = 1$ é o coeficiente binomial generalizado.)
b) Calcular o coeficiente de $x^n$ na série formal $(\sum_{k=0}^{\infty} x^k)^m$, usando o fato que $\sum_{i=0}^{\infty} x^k = 1/(1-x)$, e depois desenvolvendo. Fazer a interpretação para a equação $x_1 + \cdots + x_m = n$
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a) Queremos mostrar que para todo $r \in \mathbb{R}$, a expansão em série de Maclaurin de $f(x) = (1+x)^r$ é dada por: $$(1+x)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} x^k$$
A série de Maclaurin baseia-se nas derivadas da função avaliadas em $x = 0$. Vamos calcular as primeiras derivadas de $f(x)$: $$f(x) = (1+x)^r \implies f(0) = 1$$ $$f'(x) = r(1+x)^{r-1} \implies f'(0) = r$$ $$f''(x) = r(r-1)(1+x)^{r-2} \implies f''(0) = r(r-1)$$ $$f'''(x) = r(r-1)(r-2)(1+x)^{r-3} \implies f'''(0) = r(r-1)(r-2)$$
Por indução matemática, a $k$-ésima derivada de $f(x)$ em $x = 0$ para $k \ge 1$ é: $$f^{(k)}(0) = r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)$$
A fórmula geral da série de Maclaurin é dada por: $$ f(x) = f(0) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k $$
Substituindo os valores encontrados e utilizando a definição de coeficiente binomial dada no enunciado, onde $\binom{r}{k} = \frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{k!}$, temos: $$ f(x) = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \binom{r}{k} x^k $$
Como o enunciado define que para $k=0$, $\binom{r}{0} = 1$, podemos incorporar o termo inicial dentro do somatório, estendendo o índice para iniciar em $k=0$: $$ (1+x)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} x^k \quad \square $$
b) O enunciado define a série geométrica como $\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}$. Queremos elevar essa série à potência $m$: $$ \left( \sum_{k=0}^{\infty} x^k \right)^m = \left( \frac{1}{1-x} \right)^m = (1-x)^{-m} $$
Aplicando a fórmula binomial do item (a) com expoente $r = -m$ e substituindo a variável por $-x$ $$ (1-x)^{-m} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-m}{n} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-m}{n} (-1)^n x^n $$
O coeficiente de $x^n$ é dado por $\binom{-m}{n} (-1)^n$. Vamos expandir o termo binomial generalizado: $$ \binom{-m}{n} = \frac{(-m)(-m-1)(-m-2)\cdots(-m-n+1)}{n!} $$ Fatorando $(-1)$ de cada um dos $n$ termos do numerador: $$ \binom{-m}{n} = \frac{(-1)^n \cdot [m(m+1)(m+2)\cdots(m+n-1)]}{n!} $$
Multiplicando pelo $(-1)^n$ externo da série, sabendo que $(-1)^n \cdot (-1)^n = (-1)^{2n} = 1$: $$ \binom{-m}{n} (-1)^n = \frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+n-1)}{n!} = \binom{m+n-1}{n} $$
Portanto, o coeficiente de $x^n$ na série formal é: $$ {\binom{m+n-1}{n}} \quad \text{ou, de forma equivalente,} \quad {\binom{m+n-1}{m-1}} $$
Como já vimos anteriormente, esse coeficiente binomial representa a quantidade de soluções inteiras não negativas de $x_1 + x_2 + \cdots + x_m = n$
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