Partições autoconjugadas

a) Para encontrar as partições autoconjugadas, basta utilizar o gráfico de Young e ver se o gráfico da autoconjugada (basta trocar as linhas por colunas) é igual ao gráfico da partição original.

Partição $(6, 4, 4, 2, 2, 1)$

O diagrama original e o seu transposto são: $$ \text{Original:}\,\, \begin{matrix} \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & & \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & & \\ \bullet & \bullet & & & & \\ \bullet & \bullet & & & & \\ \bullet & & & & & \end{matrix} \quad \neq \quad \text{Transposto:}\,\, \begin{matrix} \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \\ \bullet & \bullet & \bullet & & & \\ \bullet & \bullet & \bullet & & & \\ \bullet & & & & & \\ \bullet & & & & & \end{matrix} $$ Portanto, não é autoconjugada.

Partição $(5, 3, 3, 1, 1)$ Refletindo o diagrama sobre a diagonal principal, notamos a simetria perfeita: $$ \text{Original:}\,\, \begin{matrix} \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & & \\ \bullet & \bullet & \bullet & & \\ \bullet & & & & \\ \bullet & & & & \end{matrix} \quad = \quad \text{Transposto:}\,\, \begin{matrix} \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & & \\ \bullet & \bullet & \bullet & & \\ \bullet & & & & \\ \bullet & & & & \end{matrix} $$ Portanto, é autoconjugada.

Partição $(4, 3, 2, 1)$

O diagrama forma uma estrutura triangular que não se altera ao transpor: $$ \text{Original:}\,\, \begin{matrix} \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \\ \bullet & \bullet & & \\ \bullet & & & \end{matrix} \quad = \quad \text{Transposto:}\,\, \begin{matrix} \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \\ \bullet & \bullet & & \\ \bullet & & & \end{matrix} $$ Portanto, é autoconjugada.

Partição $(5, 5, 5, 5, 5)$

Como o diagrama forma um quadrado de $5 \times 5$, a transposição resulta exatamente na mesma configuração:

$$ \text{Original:}\,\, \begin{matrix} \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \end{matrix} \quad = \quad \text{Transposto:}\,\, \begin{matrix} \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \end{matrix} $$

Portanto, é autoconjugada.

b) A identidade $a(n) = b(n)$ pode ser demonstrada geometricamente através do gráfico de Ferrers da partição autoconjugada.

Entendendo a Simetria (O Efeito Espelho):

Uma partição é chamada de autoconjugada quando o seu desenho de pontos é perfeitamente simétrico em relação à sua linha diagonal (aquela que começa no primeiro ponto do canto superior esquerdo e desce inclinada para a direita).

Imagine que essa linha diagonal funciona como um espelho: tudo o que aparece listado nas linhas horizontais se reflete exatamente igual nas colunas verticais.

Exemplo Prático (Visualização das Áreas Simétricas):

Para ilustrar essa transformação, vamos considerar a mesma partição autoconjugada de $26$: $$ 7 + 5 + 5 + 4 + 3 + 1 + 1 $$

Podemos mapear perfeitamente cada região em formato de "L" (ganho) preenchendo as posições com letras idênticas para cada camada, mantendo o alinhamento impecável na tela:

$$ \begin{matrix} A & A & A & A & A & A & A \\ A & B & B & B & B & & \\ A & B & C & C & C & & \\ A & B & C & D & & & \\ A & B & C & & & & \\ A & & & & & & \\ A & & & & & & \end{matrix} $$

Contando a quantidade de elementos que pertencem a cada uma das letras isoladas, obtemos:

• Camada A (Mais externa): $7 \text{ na linha} + 6 \text{ na coluna} = 13$ elementos.
• Camada B: $4 \text{ na linha} + 3 \text{ na coluna} = 7$ elementos.
• Camada C: $3 \text{ na linha} + 2 \text{ na coluna} = 5$ elementos.
• Camada D (Mais interna): $1 \text{ na linha} + 0 \text{ na coluna} = 1$ elemento.

Desta forma, os tamanhos das regiões isoladas geram de maneira única a soma de partes ímpares e distintas: $$ 13 + 7 + 5 + 1 = 26 $$

Como esse processo de mapeamento funciona perfeitamente para qualquer gráfico simétrico e pode ser feito de trás para frente a partir de números ímpares distintos, está provada a bijeção. Logo, $a(n) = b(n)$