Posts by Rodrigo Macedo Monti Silva
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a) Como $B$ é enumerável, existe uma função $\phi :B \rightarrow \mathbb{N}$ que é bijetora. Agora, como $f$ é injetora, para cada $a \in A$, existe um único $b \in B$ tal que $f(a) = b$. Ou seja, ...
Seja $f:A\rightarrow B$ uma função. Mostre que a) Se $f$ é injetora e $B$ é enumerável, então $A$ é enumerável. b) Se $f$ é sobrejetora e $A$ é enumerável, então $B$ é enumerável.
a) Para encontrar as partições autoconjugadas, basta utilizar o gráfico de Young e ver se o gráfico da autoconjugada (basta trocar as linhas por colunas) é igual ao gráfico da partição original. P...
Primeiro, lembre-se que a equação da circunferência é dada por $(x-x_{0})^2 + (y-y_{0})^2 = R^2$, onde $(x_{0},y_{0})$é o centro da circunferência e $R$ é o raio. Ou ainda, podemos escrever tal equ...
a) Seja $a_n$ a quantidade de soluções em inteiros não negativos da equação $x+y+z=n$, com $n\in\mathbb{N}$. Encontre a função geradora $f(x)$ da sequência $a_n$. b) Seja $b_n$ a quantidade de sol...
a) Veja que $x$ pode assumir qualquer valor inteiro não negativo. Isto é, $x\in\{0,1,2,3,...\}$. Logo, a série de potências que descreve os possíveis valores de $x$ é $$1+x+x^2+x^3+\cdots = \frac{1...
Encontrar a função geradora $f(x)$ da sequência dada por $a_n=n^2+n$, com $n\in\mathbb{N}$.
Para isso, basta encontrar a função geradora de $b_n=n^2$ e a função geradora de $c_n=n$. Sabemos que $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$$. Ao derivar tal expressão, obtemos $$\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3...
a) Mostrar que para todo número real $r$ vale a fórmula binomial $(1+x)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k}x^k$. (Recordamos que $\binom{r}{k} = r(r-1)\cdots(r-k+1)/k!$ quando $k \ge 1$, e $\binom...
a) Queremos mostrar que para todo $r \in \mathbb{R}$, a expansão em série de Maclaurin de $f(x) = (1+x)^r$ é dada por: $$(1+x)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} x^k$$ A série de Maclaurin base...
a) Mostrar que a função $f(x) = \prod_{k=1}^{\infty} (1+x^{2k})$ é função geradora da sequência $p(n)$ que conta as partições de $n$ onde todas partes da partição são números pares e distintos. b)...
Qual a função geradora para $a_n$, onde $a_n$ é a quantidade de partições de $n$ e todas as partes são pares e no máximo iguais a 6.
a) Veja que $\prod_{k=1}^{\infty} (1+x^{2k})$ é o mesmo que $$(1+x^2)(1+x^4)(1+x^6)\cdots(1+x^{2k})\cdots$$ Com isso, é fácil perceber que o coeficiente de $x^6$ é igual 2, visto que a únicas forma...
A ideia é que podem haver inúmeras partes de $n$ iguais a $2$, iguais a $4$ ou iguais a $6$. Vejamos a função geradora das partes que valem $2$. Tal função é dada por: $$1+x^2+x^4+x^6+\cdots = \fr...
a) Quais das seguintes partições são autoconjugadas (simétricas): $(6, 4, 4, 2, 2, 1)$, $(5, 3, 3, 1, 1)$, $(4, 3, 2, 1)$, $(5, 5, 5, 5, 5)$? b) Mostrar que se $a(n)$ é a quantidade das partições ...