Atividades de Rodrigo Macedo Monti Silva
| Tipo | Em... | Conteúdo | Estado | Data |
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| Edição | Post #58 |
Post edited: |
— | ha 23 dias |
| Edição | Post #58 | Initial revision | — | ha 23 dias |
| Resposta | — |
A: Partições autoconjugadas a) Para encontrar as partições autoconjugadas, basta utilizar o gráfico de Young e ver se o gráfico da autoconjugada (basta trocar as linhas por colunas) é igual ao gráfico da partição original. Partição $(6, 4, 4, 2, 2, 1)$ O diagrama original e o seu transposto são: $$ \text{Origin... (mais) |
— | ha 23 dias |
| Edição | Post #57 | Initial revision | — | ha 23 dias |
| Pergunta | — |
Partições autoconjugadas a) Quais das seguintes partições são autoconjugadas (simétricas): $(6, 4, 4, 2, 2, 1)$, $(5, 3, 3, 1, 1)$, $(4, 3, 2, 1)$, $(5, 5, 5, 5, 5)$? b) Mostrar que se $a(n)$ é a quantidade das partições autoconjugadas de $n$, e $b(n)$ a quantidade das partições de $n$ em partes ímpares e distintas, então... (mais) |
— | ha 23 dias |
| Edição | Post #56 | Initial revision | — | ha 23 dias |
| Resposta | — |
A: Partições de n que são pares e no máximo iguais a 6 A ideia é que podem haver inúmeras partes de $n$ iguais a $2$, iguais a $4$ ou iguais a $6$. Vejamos a função geradora das partes que valem $2$. Tal função é dada por: $$1+x^2+x^4+x^6+\cdots = \frac{1}{1-x^2}$$ Aqui, $x^2$ representa uma única parte que vale $2$, o $x^4$ representa duas partes ... (mais) |
— | ha 23 dias |
| Edição | Post #55 | Initial revision | — | ha 23 dias |
| Pergunta | — |
Partições de n que são pares e no máximo iguais a 6 Qual a função geradora para $an$, onde $an$ é a quantidade de partições de $n$ e todas as partes são pares e no máximo iguais a 6. (mais) |
— | ha 23 dias |
| Edição | Post #54 | Initial revision | — | ha 24 dias |
| Resposta | — |
A: Função geradora de partições de n a) Veja que $\prod{k=1}^{\infty} (1+x^{2k})$ é o mesmo que $$(1+x^2)(1+x^4)(1+x^6)\cdots(1+x^{2k})\cdots$$ Com isso, é fácil perceber que o coeficiente de $x^6$ é igual 2, visto que a únicas formas de obtê-lo é fazendo $x^2\cdot x^4$ e $1 \cdot x^6$, por exemplo. Isso nos mostra que há somente duas p... (mais) |
— | ha 24 dias |
| Edição | Post #53 | Initial revision | — | ha 24 dias |
| Pergunta | — |
Função geradora de partições de n a) Mostrar que a função $f(x) = \prod{k=1}^{\infty} (1+x^{2k})$ é função geradora da sequência $p(n)$ que conta as partições de $n$ onde todas partes da partição são números pares e distintos. b) Mostrar que $\prod{k=1}^{\infty} 1/(1-x^{2k})$ é a função geradora das partições de $n$ em partes pare... (mais) |
— | ha 24 dias |
| Edição | Post #52 | Initial revision | — | ha 24 dias |
| Resposta | — |
A: Coeficiente binomial generalizado para números reais a) Queremos mostrar que para todo $r \in \mathbb{R}$, a expansão em série de Maclaurin de $f(x) = (1+x)^r$ é dada por: $$(1+x)^r = \sum{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} x^k$$ A série de Maclaurin baseia-se nas derivadas da função avaliadas em $x = 0$. Vamos calcular as primeiras derivadas de $f(x)$: $... (mais) |
— | ha 24 dias |
| Edição | Post #51 | Initial revision | — | ha 24 dias |
| Pergunta | — |
Coeficiente binomial generalizado para números reais a) Mostrar que para todo número real $r$ vale a fórmula binomial $(1+x)^r = \sum{k=0}^{\infty} \binom{r}{k}x^k$. (Recordamos que $\binom{r}{k} = r(r-1)\cdots(r-k+1)/k!$ quando $k \ge 1$, e $\binom{r}{0} = 1$ é o coeficiente binomial generalizado.) b) Calcular o coeficiente de $x^n$ na série formal... (mais) |
— | ha 24 dias |
| Edição | Post #50 | Initial revision | — | ha aproximadamente 1 mês |
| Resposta | — |
A: Função geradora Para isso, basta encontrar a função geradora de $bn=n^2$ e a função geradora de $cn=n$. Sabemos que $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$$. Ao derivar tal expressão, obtemos $$\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\cdots$$ Observe que estamos muito próximos de encontrar a função geradora de $cn$ (gostaríamos d... (mais) |
— | ha aproximadamente 1 mês |
| Edição | Post #49 | Initial revision | — | ha aproximadamente 1 mês |
| Pergunta | — |
Função geradora Encontrar a função geradora $f(x)$ da sequência dada por $an=n^2+n$, com $n\in\mathbb{N}$. (mais) |
— | ha aproximadamente 1 mês |
| Edição | Post #48 | Initial revision | — | ha aproximadamente 1 mês |
| Resposta | — |
A: Funções geradoras de soluções em inteiros não negativos a) Veja que $x$ pode assumir qualquer valor inteiro não negativo. Isto é, $x\in\{0,1,2,3,...\}$. Logo, a série de potências que descreve os possíveis valores de $x$ é $$1+x+x^2+x^3+\cdots = \frac{1}{1-x}$$ Como $y$ e $z$ podem assumir os mesmos valores, então eles são associados à mesma série de ... (mais) |
— | ha aproximadamente 1 mês |
| Edição | Post #47 | Initial revision | — | ha aproximadamente 1 mês |
| Pergunta | — |
Funções geradoras de soluções em inteiros não negativos a) Seja $an$ a quantidade de soluções em inteiros não negativos da equação $x+y+z=n$, com $n\in\mathbb{N}$. Encontre a função geradora $f(x)$ da sequência $an$. b) Seja $bn$ a quantidade de soluções em inteiros não negativos da equação $3x+4y+5z=n$, com $n\in\mathbb{N}$. Encontre a função geradora... (mais) |
— | ha aproximadamente 1 mês |
| Edição | Post #37 | Initial revision | — | ha aproximadamente 1 mês |
| Resposta | — |
A: Encontrando uma circunferência Primeiro, lembre-se que a equação da circunferência é dada por $(x-x{0})^2 + (y-y{0})^2 = R^2$, onde $(x{0},y{0})$é o centro da circunferência e $R$ é o raio. Ou ainda, podemos escrever tal equação como $x^2+y^2+Ax+By+C=0$. Como os quatro pontos dados fazem parte da mesma circunferência, podemos sub... (mais) |
— | ha aproximadamente 1 mês |
| Edição | Post #25 | Initial revision | — | ha aproximadamente 1 mês |
| Resposta | — |
A: Função injetora/sobrejetora e conjuntos enumeráveis a) Como $B$ é enumerável, existe uma função $\phi :B \rightarrow \mathbb{N}$ que é bijetora. Agora, como $f$ é injetora, para cada $a \in A$, existe um único $b \in B$ tal que $f(a) = b$. Ou seja, ao tomarmos uma função $g$ como $g = \phi \circ f$, com $g:A\rightarrow \mathbb{N}$ é uma função injetor... (mais) |
— | ha aproximadamente 1 mês |
| Edição | Post #24 | Initial revision | — | ha aproximadamente 1 mês |
| Pergunta | — |
Função injetora/sobrejetora e conjuntos enumeráveis Seja \$f:A\rightarrow B$ uma função. Mostre que a) Se $f$ é injetora e $B$ é enumerável, então $A$ é enumerável. b) Se $f$ é sobrejetora e $A$ é enumerável, então $B$ é enumerável. (mais) |
— | ha aproximadamente 1 mês |
| Edição | Post #21 | Initial revision | — | ha 4 meses |
| Resposta | — |
A: Classificação de sistemas lineares Resposta resposta resposta resposta (mais) |
— | ha 4 meses |